수학문제풀어주세요... 수학문제풀어주세요
이 문제를 풀어드리겠습니다.
문제 분석:
함수 f(x) = 4 - 2√x의 그래프와 역함수 y = f⁻¹(x)의 그래프가 세 점 P, Q, R에서 만남
삼각형 PQR의 넓이가 a + b√5일 때, a + b의 값을 구하기
풀이:
역함수 구하기
y = 4 - 2√x
2√x = 4 - y
√x = (4-y)/2
x = ((4-y)/2)² = (4-y)²/4
따라서 f⁻¹(x) = (4-x)²/4
교점 찾기
f(x) = f⁻¹(x)인 점에서:
4 - 2√x = (4-x)²/4
16 - 8√x = (4-x)²
16 - 8√x = 16 - 8x + x²
x² - 8x + 8√x = 0
t = √x로 치환하면:
t⁴ - 8t² + 8t = 0
t(t³ - 8t + 8) = 0
t = 0 또는 t³ - 8t + 8 = 0
y = x와의 교점
f(x) = x인 경우:
4 - 2√x = x
2√x = 4 - x
4x = 16 - 8x + x²
x² - 12x + 16 = 0
x = (12 ± √(144-64))/2 = (12 ± √80)/2 = 6 ± 2√5
따라서 P(6 - 2√5, 6 - 2√5), Q(4, 0), R(6 + 2√5, 6 + 2√5)
삼각형 넓이 계산
좌표를 이용한 넓이 공식:
넓이 = ½|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|
계산하면:
넓이 = ½|(6-2√5)(0-(6+2√5)) + 4((6+2√5)-(6-2√5)) + (6+2√5)((6-2√5)-0)|
= ½|-(6-2√5)(6+2√5) + 4·4√5 + (6+2√5)(6-2√5)|
= ½|16√5|
= 8√5
따라서 a = 0, b = 8
답: a + b = 8
